Создание матриц

Матрицы представлены в Mathematica при помощи списков. Они могут быть заданы непосредственно списком { }, построены по формуле или импортированы из файла данных. Mathematica также содержит команды для создания диагональных матриц, постоянных матриц и других специальных типов матриц.

Матрица может быть введена непосредственно с помощью символов {}:

In[125]:=

Out[125]=

Вывести результат в матричном виде можно с помощью команды MatrixForm:

In[126]:=

Out[126]//MatrixForm=

expr//fun является еще одним способом ввода fun[expr]. Такая команда особенно эффективна в случае, если fun является функцией форматирования.

В этом примере, функция Table использована для создания таблицы значений для x и y:

In[127]:=

In[129]:=

Out[129]//MatrixForm=

Обратите внимание, что в Mathematica содержимое матриц не ограничивается только числами; они могут содержать символьные элементы, равно как и формулы:

In[130]:=

Out[131]//MatrixForm=

    

Когда Вы создаете матрицу и сохраняете ее путем задания имени, постарайтесь избегать использования функции форматирования MatrixForm. Если это все же необходимо, используйте круглые скобки:

In[132]:=

Out[132]//MatrixForm=

Сохраненную матрицу mat можно использовать в дальнейших вычислениях:

In[133]:=

Out[133]//MatrixForm=

Предположим, Вы пренебрегли данным выше предостережением и не использовали круглые скобки:

In[134]:=

Out[134]//MatrixForm=

Тогда mat будет выводится как матрица, но не будет работать в вычислениях. Например, следующее выражение не приводит к умножению матрицы на матрицу:

In[135]:=

Out[135]=

Выведем значения mat, использовав функцию FullForm:

In[11]:=

Out[11]//FullForm=

Это показывает, что mat включает в себя форматирующую оболочку MatrixForm, которая не дает ей работать в качестве матрицы.

    

Существуют функции для создания различных специальных матриц.

Так создается матрица 4?5 из действительных чисел в диапазоне от -10 до 10:

In[136]:=

Out[136]//MatrixForm=

Так создается матрица, которая содержит отличные от нуля элементы только на диагонали:

In[137]:=

Out[137]//MatrixForm=

Так создается матрица с одинаковыми элементами:

In[138]:=

Out[138]//MatrixForm=

Так создается матрица Гильберта 4?4, где каждый элемент списка имеет вид 1/ (i+j–1):

In[139]:=

Out[139]//MatrixForm=

    

Многие из функций линейной алгебры (и не только!) выдают результат в виде матрицы.

Здесь вычислено QR-разложение произвольной матрицы 3?3:

In[140]:=

Так отображается Q матрица:

In[142]:=

Out[142]//MatrixForm=

Когда функции Mathematica выводят результат в виде матриц, они зачастую используют оптимизированный формат хранения, называемый упакованным массивом.

    

В Mathematica Вы можете применить к списку множество стандартных операций и, в результате, получить другой список, к каждому элементу которого была применена функция. Это в равной степени относится и к матрицам, являющимися списками из подсписков.

Вот матрица 2?2, состоящая из квадратов чисел:

In[143]:=

Out[144]//MatrixForm=

Это применение функции нахождения квадратного корня Sqrt к каждому элементу матрицы:

In[145]:=

Out[145]//MatrixForm=

Эту особенность функции Sqrt называют применимостью к спискам, и она позволяет создавать легко читающийся и эффективный код.

Если используется функция, которая не обладает применимостью к спискам, она не может быть применена к каждому элементу:

In[146]:=

Out[146]=

При желании, Вы можете сделать функцию применимой к спискам (и она будет применяться к каждому элементу):

In[147]:=

Out[148]//MatrixForm=

    

Другим важным способом создания матриц является импорт файла данных. Это может быть сделано с табличными форматами, такими как Table (.dat), CSV (.csv) и TSV (.tsv). Матрица может быть также считана из таблицы Excel (.xls).

Здесь использована команда ImportString для импорта строк CSV формата в матрицу. Импорт из файла выполняется с помощью команды Import:

In[149]:=

Out[149]=

Mathematica также поддерживает ряд других форматов, включая научные и медицинские форматы данных, такие как HarwellBoeing, MAT, HDF, NASACDF и FITS.

    

Способ, выбранный для создания матрицы, может оказать существенное влияние на эффективность создаваевмых Вами программ. Для повышения эффективности, следует избегать добавления данных к матрице, не использовать ненужных операций по созданию матриц. Везде, где это возможно, лучше отдать предпочтение операциям, применимым к спискам.

Данный пример многократно добавляет новую строку в матрицу:

In[150]:=

Out[151]=

Намного быстрее создать матрицу за один цикл. Если в коде Вы видите функцию цикла For, постарайтесь заменить ее на другую конструкцию, скажем Table:

In[152]:=

Out[152]=

Следующий пример создает 2?n матрицу из нулей, а затем заполняет ее при помощи циклической операции. Создание нулевой матрицы здесь совершенно не нужно.

In[153]:=

Out[153]=

Гораздо быстрее создать данные для каждой строки за один раз, а далее пользоваться операциями, применяемыми к спискам:

In[154]:=

Out[154]=

Если матрицы большие и содержат много одинаковых элементов (например, нулевых), тогда следует рассмотреть возможность работы с разреженными матрицами, построенными с п&# 1086;мощью функции SparseArray.